SD168 · Una regla de crecimiento cambia al estrecharse el tablero

Transversales · Matemáticas · 3.er ciclo · cuatro sesiones de 40 min · aula. Objetivo: construir y explicar una secuencia de figuras cuyo crecimiento tiene dos tramos con incrementos distintos, localizar exactamente la etapa donde cambia la regla y predecir un caso nuevo sin aplicar la primera regla fuera de su dominio. Se observa si el alumnado distingue número de etapa, total de piezas e incremento entre dos etapas, si relaciona el cambio con una condición visible del tablero y si puede expresar «hasta esta etapa…; desde la siguiente…». No basta repetir una serie de números ni encontrar una fórmula de un tramo. Las clases enlazan construcción, diagnóstico del cambio, representación de dos reglas y transferencia a otra anchura.

Preparación (12 min). Por pareja, tablero de cartón con seis filas consecutivas: filas 1–3 tienen dos casillas utilizables cada una; filas 4–6 tienen una casilla cada una porque el corredor del dibujo se estrecha. No poner físicamente obstáculos peligrosos ni llamar «accesible» al estrechamiento del tablero: es una restricción de piezas en maqueta, no una ruta para personas. Nueve fichas cuadradas de cartón, numeradas o táctilmente distinguibles según modalidad, y tabla lineal «etapa / casillas de la nueva fila / total acumulado / regla activa». Tarjeta de error: «Como aumentó de dos en dos al principio, la etapa 6 tendrá 12». Tablero de transferencia con cinco filas: filas 1–2 tienen tres casillas; filas 3–5, dos. Preparar solución: primer tablero totales 2,4,6,7,8,9; segundo 3,6,8,10,12. Marcadores de frontera entre filas 3 y 4 y, en transferencia, entre 2 y 3. Las figuras se construyen por añadir una fila en cada etapa, no repartiendo nueve piezas de cualquier manera. Otra pareja podrá comprobar físicamente una predicción.

Diagnóstico y ejemplo resuelto. Mostrar solo las tres primeras etapas del primer tablero con 2,4,6 piezas y preguntar cuántas tendrá la sexta. Una respuesta «12» puede ser razonable si el tablero continuase con dos casillas por fila, pero contradice las filas estrechas ya preparadas. Al destapar el resto de maqueta, construir etapa 4 añadiendo una pieza: total 7; luego 8 y 9. La regla completa es «etapa 1=2; de 1 a 2 y de 2 a 3, añade 2; de 3 a 4 en adelante, añade 1». No decir «desde la etapa 3 añade 1»: entre etapas 2 y 3 aún se añaden 2. Guardar la predicción inicial, la condición que la invalidó y la corrección. Reto final: en tablero nuevo, etapa 1 tiene tres, etapa 2 seis, y cada fila posterior solo permite dos. La predicción para etapa 5 es 12: 3,6,8,10,12. Una propuesta «15 porque siempre +3» falla al entrar en fila 3; una «10 porque desde etapa 2 +2» confunde la etapa donde empieza incremento nuevo. Producto: tablero construido, tabla de totales/incrementos, una frase que nombra la frontera y revisión de una predicción ajena. Si se modifica el ancho del tablero, hay que volver a determinar la regla, no conservar por costumbre números del caso anterior.

Sesión (40 min)	Desarrollo y decisión
1. La primera regla funciona aquí. 5 presentar filas 1–3, 7 contar casillas, 12 construir etapas 1/2/3, 9 tabla de nuevos/total, 5 predicción inicial, 2 cierre.	Consigna: «Añade solo la fila nueva y anota cuántas fichas se añadieron, no solo cuántas hay en total». Con 2,4,6 el alumnado formula provisionalmente «+2 por fila». No se presenta como ley de todas las etapas; la predicción de etapa 6 se registra como hipótesis. Si alguien coloca dos fichas en la misma fila al repetir, contrastar con casillas delimitadas.
2. Aparece la condición que cambia el paso. 5 recuperar +2, 7 destapar filas 4–6, 12 construir 4/5/6, 9 separar incremento y total, 5 corregir predicción, 2 cierre.	La fila 4 solo admite una nueva pieza: etapa 4 total 7, después 8 y 9. Pedir marcar la primera transición que no añade dos: de etapa 3 a 4. Si se afirma que «en etapa 3 ya cambia», recorrer físicamente fila 3 y contar sus dos piezas. Guardar tabla con frontera y una razón espacial, no solo número.
3. Dos tramos en una misma regla. 5 tabla anterior, 7 modelo de frase por tramos, 12 construir/explicar otra vez, 9 auditar tarjeta 12, 5 escribir límite, 2 cierre.	«Hasta etapa 3 cada fila suma 2; desde la fila 4 suma 1». Otra pareja recibe tabla sin tablero y decide si 2,4,6,7,8,9 concuerda con esa frase; después comprueba casillas. La tarjeta «etapa 6=12» aplica +2 fuera de su tramo. Si el alumnado solo memoriza nueve, pedir predicción de etapa 7 solo tras añadir al modelo una séptima fila de una casilla; sería 10, no se extrapola sin conocer tablero.
4. El cambio ocurre en otro punto. 5 presentar tablero nuevo, 7 identificar frontera, 12 construir cinco etapas, 9 comprobar predicción de otra pareja, 5 comparar inicial/final, 2 cierre.	En segundo tablero, filas 1–2 suman 3 y filas 3–5 suman 2: 3,6,8,10,12. El grupo anota «de etapa 2 a 3 cambia a +2» y corrige un error intencionado «3,6,9,12,15». Otra pareja verifica colocando piezas. Si la anchura del modelo no es perceptible para alguien, ajustar representación antes de evaluar razonamiento.

Dependencia y dificultades. La primera sesión produce una generalización provisional útil; la segunda la limita con evidencia nueva; la tercera obliga a describir las dos fases sin error de frontera; la cuarta impide memorizar un único corte. Si alguien confunde «etapa 4» con «cuatro piezas», mantener columnas separadas y leer unidades: etapa, piezas añadidas, total de piezas. Si suma 2+4+6 para calcular total, recordar que 4 y 6 ya incluyen filas previas; reconstruir físicamente. Profundización: comparar tablero con filas 2,2,2,1,1,1 frente a otro 2,2,1,1,1,1 y explicar por qué la misma regla local +2/+1 no da el mismo total en etapa 6 cuando cambia la frontera. Primer ciclo usa dos filas anchas y una estrecha con objetivo alternativo: reconocer que el añadido puede cambiar; segundo ciclo registra incrementos con fichas sin frase formal de dos tramos; tercero delimita frontera y predice nuevo caso. No se añade presión de rapidez ni cálculo mental sin apoyos. Quien falte reconstruye dos etapas contiguas con la tabla previa y puede entrar en la clase actual.

Adaptaciones concretas. Movilidad/prensión y silla de ruedas: tablero fijo al alcance o digital, fichas grandes que no requieren pinza; otra persona coloca únicamente donde la persona indique y confirma la ubicación, preservando decisión matemática. Visión: tablero con límites de casilla en relieve y lista lineal «fila 1: dos casillas… fila 4: una»; describir ancho, no decir la regla ni el total resultante antes de que la persona lo construya. Audición: condición de cada fila y momento de destapar el segundo tramo por texto o lengua elegida; la tarjeta de error se lee sin cambiar el tablero a espaldas. Comprensión/anticipación y regulación: panel «fila nueva → piezas nuevas → total», una fila por turno y frontera marcada de modo persistente; pausa con última etapa conservada. Comunicación/CAA y lengua: «fila», «añado», «total», «hasta 3», «desde 4», «mi primera regla ya no sirve» disponibles; aceptar explicación señalando dos tramos y línea frontera. Combinación baja visión y CAA: lista de filas legible en dispositivo, fronteras táctiles en tablero fijo y vocabulario de incrementos; comprobar que la persona puede indicar tanto valor como etapa exacta del cambio sin que acompañante lo complete. Si solo copia los totales dictados por otro y no decide incrementos, registrar objetivo alternativo: ordenar datos de una secuencia dada, no deducir dos reglas de crecimiento.

Registro y contraste. Guardar predicción inicial para etapa 6, tabla de piezas nuevas/totales, frontera corregida, crítica de tarjeta 12, transferencia y apoyo; «no observado» se separa de error. Nivel logrado: localiza transición 3→4, predice 9 y resuelve segundo tablero con transición 2→3; en progreso: construye bien pero llama «+2 siempre»; reenseñar: no separa añadido y total. Ejemplo ficticio: «Eva dijo 12 tras ver tres filas, construyó la cuarta con una casilla y corrigió a 9; en segundo tablero marcó +2 desde la tercera». Otro: «Leo obtuvo 9 pero escribió cambio en etapa 3; se revisó la transición física 2→3». Autoevaluación: señalar una predicción que se revisó y el dato que la cambió. Un patrón creciente necesita una regla de cambio mantiene +2 en todas las etapas; Una regla recursiva usa un caso inicial exige semilla y paso constante. Esta secuencia enseña frontera entre dos incrementos y el límite de extrapolar uno de ellos. El primer intento de sustitución sobre planes fijos/variables se fusiona con Un gasto simbólico puede ser fijo o por uso. Pendiente ensayo real de tiempo y accesibilidad.