Cuatro triángulos caben en el mismo hexágono

Tiempo previsto: 16 minutos de actividad, más 4 de preparación y 2 de recogida (22 en total). El desarrollo se dirige a 4.º a 6.º de primaria; las variantes de ciclo indican cuándo cambia el objetivo inicial.

Montaje y organización

Dibuja dos hexágonos convexos con los vértices A, B, C, D, E y F en orden alrededor del borde, sin tres vértices alineados. Solo se pueden usar los vértices dados. Cada nueva diagonal debe transcurrir por el interior de una región y puede tocar las anteriores en un extremo común. El encargo termina cuando todas las regiones son triángulos. Lleva una tabla con columnas para el segmento nuevo y el número de regiones antes y después. No es necesario medir ángulos ni construir polígonos regulares.

Caso listo para usar

En la primera copia traza AC, AD y AE. Quedan ABC, ACD, ADE y AEF. En la segunda copia traza AC, CE y EA. Quedan ABC, CDE, EFA y el triángulo central ACE. Las formas y las diagonales elegidas difieren, pero en ambos dibujos cada diagonal válida divide una sola región en dos. El recuento pasa de una región a dos, tres y cuatro. Un segmento que repasa un lado no divide ninguna región y no se puede contar como diagonal nueva. Para un pentágono convexo, dos diagonales desde un mismo vértice a sus dos no vecinos producen tres triángulos.

Desarrollo

1. 3 min · Identificar segmentos válidos. Distingue el lado AB de la diagonal AC y comprueba dónde queda el interior de cada figura.
2. 4 min · Construir el abanico. Incorpora las tres diagonales de la primera copia de una en una. Señala la región que desaparece y las dos que la sustituyen en cada paso.
3. 5 min · Buscar el triángulo central. Trabaja en la segunda copia y enumera los cuatro triángulos por sus vértices. Comprueba que llenan el hexágono sin huecos ni solapamientos.
4. 4 min · Explicar la cuenta. Relaciona tres diagonales con cuatro regiones y prueba el pentágono. Formula la condición sobre cruces que hace válido el argumento de añadir una región por vez.

Si la propuesta se atasca

Si se acepta un segmento que cruza otro en mitad de la figura, identifica el nuevo punto que no estaba entre los vértices permitidos. Si se olvida el triángulo central, recorre el interior siguiendo sus tres lados en orden.

Qué observar

Registra si el alumnado distingue diagonales de bordes, cubre toda la figura y explica el aumento de regiones por división. El modelo usa polígonos convexos y diagonales interiores entre vértices existentes.