Duplicar una escalera para sumar sus filas

Tiempo previsto: 15 minutos de actividad, más 5 de preparación y 2 de recogida (22 en total). El desarrollo se dirige a 5.º y 6.º de primaria; las variantes de ciclo indican cuándo cambia el objetivo inicial.

Montaje y organización

Prepara una escalera de cuadrados unidos por lados, alineados a la izquierda: una fila de un cuadrado, debajo una de dos, después tres y cuatro. Haz una copia exacta en otra trama. No cambies el tamaño de los cuadrados entre copias. El adulto comprueba previamente que ambas encajan sin huecos en un rectángulo de cuatro filas y cinco columnas.

Caso listo para usar

La escalera de cuatro filas contiene 1 + 2 + 3 + 4 cuadrados. Al girar la copia media vuelta y colocarla junto a la primera, cada fila del conjunto tiene cinco: 1 + 4, 2 + 3, 3 + 2 y 4 + 1. El rectángulo tiene 4 × 5 = 20 cuadrados y está formado por dos escaleras iguales; una contiene 20 ÷ 2 = 10. Para n filas, cada pareja de filas complementarias suma n + 1, hay n filas y se divide entre dos por las dos copias: n × (n + 1) ÷ 2.

Desarrollo

1. 3 min · Construir la suma. Forma la escalera de cuatro filas y escribe la suma que representa. Cuenta una vez para disponer de una comprobación, pero no uses el conteo como explicación del método.
2. 5 min · Encajar la copia. Gira la segunda escalera media vuelta y busca el rectángulo. Señala las parejas complementarias de cada fila y comprueba que no hay superposición ni huecos.
3. 5 min · Generalizar el argumento. Repite con tres filas: 3 × 4 ÷ 2 = 6. Predice el caso de cinco: 5 × 6 ÷ 2 = 15. Explica qué se mantiene al añadir una fila y por qué la división entre dos sigue siendo necesaria.
4. 2 min · Justificar sin contar. Entrega la expresión para seis filas y pide explicar los factores: seis filas, siete cuadrados por fila en el rectángulo doble y dos copias. El resultado es 21.

Si la propuesta se atasca

Si se obtiene 20 para una escalera, distingue el conjunto doble de la figura inicial mediante las tramas. Si la copia no encaja, verifica orientación y alineación antes de cambiar la fórmula. No presentes observar tres casos como una prueba general: la justificación es que las filas complementarias siguen sumando n + 1.

Qué observar

Comprueba si relaciona cada operación con la construcción y explica la duplicación. Reconocer que la siguiente figura añade una fila es insuficiente sin justificar el total mediante el rectángulo.